Родился в 1920 году городке Улала (ныне Горно-Алтайск). Когда Михаилу исполнилось 17 лет, семья переехала на Дальний Восток в Биробиджан. Работал на мясокомбинате, в потребительской кооперации, активно занимался спортом. На фронтах Великой Отечественной войны с марта 1942 года. Воевал Стяжкин самоотверженно. Стал командиром расчета артиллерийского орудия.
Из писем Героя Советского Союза Михаила Стяжкина любимой девушке Саше Фальчевской:
«Вот мы в чужой стране. Раньше я думал: тут живут совсем какие-то другие люди. Думалось, что и земля не такая, и цветы не так пахнут, и солнце не так светит, как у нас. Оказывается, все так же. Не знаю почему, но здесь, в этой далекой стороне, я впервые почувствовал тоску по России, точно что-то оторвал от сердца. Ты спрашиваешь, скоро ли меня встречать? Думаю, недолго осталось…»
«Шура, родная и любимая моя! Давно я хотел тебя об этом попросить, да все не решался. Сама понимаешь: война не игра в «красных» и «белых», всякое может случиться со мной. Знай: ты — свободна, лишь об одном прошу: когда выйдешь замуж и родится сын, назови его моим именем, пусть хоть не фамилия, то хоть имя останется жить…»
Из письма Саши Фальчевской:
«Четыре года, Мишенька, как мы с тобой в разлуке. Какой ты стал? Днем и ночью мысли мои только о тебе. Наши деревенские бабы почтаря стали пугаться, как лешего. Только я одна бегу ему навстречу. Только одного боюсь: если с тобой что случится — ведь не мне сообщат, а родителям твоим… Ох, если б я могла быть рядом с тобою…»
Они так и не встретились. Герой Советского Союза сержант Михаил Михайлович Стяжкин был тяжело ранен и 24 декабря 1944 года скончался.
28 июня 1944 г. у д. Княжицы Могилевской области артиллерист Стяжкин уничтожил 13 автомашин, три 105 мм орудия и два самоходных орудия, до полуроты солдат и офицеров противника. В ходе боя убит немецкий генерал и захвачено знамя немецкой дивизии. Контратака противника была отбита, пехота перерезала шоссе Могилев – Минск. За этот подвиг Указом Президиума Верховного совета СССР от 22 августа 1944 г. Стяжкину М.М. присвоено звание Героя Советского Союза.
Умер в госпитале 24 декабря 1944 г. Похоронен в братской могиле города-героя Бреста в парке имени Первого мая.
Именем Стяжкина М.М. назван микрорайон «Мясокомбинат» г. Биробиджана, в котором 19 августа 1972 г. открыта мемориальная доска. Решением исполкома Биробиданского городского Совета народных депутатов от 18 июня 1987 г. № 228/1 Стяжкину М.М. посмертно присвоено звание «Почетный гражданин г. Биробиджана».