Родился в 1907 году в рабочей семье в г. Витебске (Белоруссия). Его детство пришлось на первую мировую и гражданскую войны, мальчик рано познал горе и нищету, приучился к самостоятельности и труду. В 1937 году И.Р. Бумагин переезжает на Дальний Восток, поселяется в Биробиджане. Здесь он поначалу работал в кузнечном цехе обозостроительного завода мастером. Когда потребовалось освоить поступившие металлорежущие станки, Иосиф Романович оказался первым, кто решился обслуживать новую технику.
Но наступили предвоенные времена, руководство страны вынуждено было больше уделять внимания укреплению обороноспособности, и способного производственника призвали на службу в армию. Однако и после 22 июня 1941 года его часть, дислоцированную на Дальнем Востоке, еще долго не перебрасывали на запад. В тылу бойцы и офицеры оттачивали воинское мастерство, готовились к решающим боям. Попавший на фронт лишь осенью 1944 года, лейтенант Иосиф Романович Бумагин уже хорошо знал бойцов своей роты. А они между собой называли его «наш батя». Командир делил с бойцами все фронтовые тяготы, как и свой офицерский паек табака. В первых числах апреля 1945 года соединения Первого и Второго Украинского, Первого Белорусского фронтов нацелили свой удар на Берлин. Вот только на пути к нему стояли неприступные фортификационные сооружения, в том числе городок Бреслау, превращенный гитлеровцами в крепость. Вот как описывает подвиг нашего земляка, представляя его к присвоению звания Героя Советского Союза, командир 396-го стрелкового полка 135-й стрелковой Краковской дивизии полковник Иванов:
«При штурме города Бреслау 24 апреля 1945 года лейтенант Бумагин совершил героический подвиг. В ожесточенных уличных боях за квартал 142 под сильным, ураганным огнем противника отважно выдвинул свои пулеметы и лично уничтожил метким огнем до двадцати гитлеровских солдат.
При продвижении дальше наша наступающая пехота была остановлена сильным пулеметным огнем двух станковых пулеметов противника, искусно скрытых в разрушенном доме. Движение вперед стало невозможным. Лейтенант Бумагин под огнем противника пополз вперед, обнаружил первую огневую точку и забросал ее гранатами».